ترسیم با استفاده از مقیاس لگاریتمی

مقیاس لگاریتمی (یا مقیاس ورود به سیستم) مفید هستند. اما آنها توسط همه درک نمی شوند. ما با خواندن شماره ها در یک خط شماره یا خواندن داده ها از یک نمودار آشنا هستیم. با این حال ، در شرایط خاص ، یک مقیاس استاندارد ممکن است مفید نباشد. اگر داده ها به صورت نمایی رشد یا کاهش می یابد ، ممکن است نیاز به استفاده از مقیاس لگاریتمی داشته باشید.

A. شهود

1. ممکن است برخی از مقیاس های ورود به سیستم را نادیده گرفته باشید

در اینجا تصویری از پنجره باتری از MacBook من آورده شده است. اگر به صفحه نمایش "خاموش کردن پس از مقیاس" نگاه کنید ، متوجه خواهید شد که از 1 دقیقه تا 15 دقیقه ، سپس به 1 ساعت و سپس از 3 ساعت تا "هرگز" متغیر است. درک این مسئله برای ما دشوار نیستبشرو ، این "شهود" برای مقیاس لگاریتمی است. در مقیاس ورود به سیستم ، تعداد بسیار دور نزدیکتر (فشرده شده) برای تجسم یک مقیاس واقعاً بزرگ در یک منطقه کوچک نزدیک می شوند.

2. فاصله از بوستون

تصور کنید که می خواهید فاصله از بوستون را با چند شهر دیگر مورد علاقه خود تجسم و مقایسه کنید. گرافیک زیر نشان می دهد که چگونه طرح نقطه شما به نظر می رسد. همانطور که در گرافیک مشاهده می کنید ، فاصله تا سانفرانسیسکو بر تجسم حاکم است. به نظر می رسد که تمام شهرهای دیگر در مقایسه با سانفرانسیسکو بسیار نزدیک هستند و این درست است. اما ، ما را از مقایسه مسافت بین همه شهرها غیر از سانفرانسیسکو منع می کند.

در نظر بگیرید که اگر می خواهید محور X را که در مقیاس خطی به مقیاس لگاریتمی بود ، ترجمه کنید ، نمودار به نظر می رسد. مقیاس کلی محور X عجیب و غریب/غیر خطی به نظر می رسد ، اما فاصله سانفرانسیسکو بر گرافیک حاکم نیست. با دقت توجه کنید که چگونه شکاف بین 500 تا 1000 بسیار کمتر از 50 تا 500 است.

مثلاً به جای استفاده از یک طرح نقطه ، فاصله های بین شهری را با استفاده از نمودار نوار تجسم کردید. در یک نمودار نوار نیز ، نوار که فاصله تا سانفرانسیسکو را نشان می دهد ، بر طرح حاکم است.

مشابه مثال قبلی ، اگر محور y خود را به مقیاس ورود به سیستم ترجمه کنید ، گرافیک شما متفاوت به نظر می رسد. توجه کنید که چگونه شکاف های 1 تا 10 ، 10 تا 100 و 100 تا 1000 یکسان هستند.

نشان دادن داده ها در مقیاس لگاریتمی می تواند باعث کاهش پوست نسبت به مقادیر بزرگ شود.

ب. متغیرهای در حال رشد نمایی

3. نمونه هایی در دنیای واقعی

جمعیت بشر طی قرن گذشته به صورت تصاعدی رشد کرده است ، و این کار را با تولید مقادیر زیادی از غذا و یادگیری نحوه کنترل بیماری ها انجام داده است. ده هزار سال پیش ، هنگامی که انسان برای اولین بار کشاورزی را اختراع کرد ، شاید یک میلیون انسان در کره زمین وجود داشته باشد.

اپیدمی و همه گیر نیز می توانند خیلی سریع رشد کنند. نمودار زیر روند موارد جدید تأیید شده Coronavirus را از 22 ژانویه تا 19 مارس 2020 نشان می دهد. منبع: POPSCI.

آتش نیز به صورت نمایی رشد می کند. این سه تصویر زیر نشان می دهد که چگونه آتش سوزی نهر در مناطق شرقی فرسنو و مادرا از زمان آغاز روز جمعه ، 4 سپتامبر 2020 به سرعت رشد کرد. تا صبح سه شنبه ، آتش سوزی کالیفرنیا بیش از 140،000 هکتار تخمین زده شد. منبع: Fresnobee.

4- متغیرهای نمایی خیلی سریع رشد می کنند

رشد نمایی الگویی از داده ها است که با گذشت زمان ، افزایش بیشتری را نشان می دهد و منحنی یک عملکرد نمایی را ایجاد می کند. به عنوان مثال. فرض کنید که جمعیت موش ها هر ماه به صورت نمایی افزایش می یابد ، با دو ماه اول ، سپس چهار در ماه دوم ، 16 در سوم ، 256 در ماه چهارم و غیره. در این حالت جمعیت موش ها در هر ماه به قدرت 2 می رسد. نمودار زیر نشان می دهد که چگونه رشد نمایی (سبز) از رشد خطی (قرمز) و مکعب (آبی) پیشی می گیرد.

از نظر ریاضی ، یک عملکرد رشد نمایی (یا پوسیدگی) تابعی است که با نرخ رشد درصد ثابت رشد می کند (یا کوچک می شود).

معادله را می توان در فرم f (x) = a (1 + r) x یا f (x) = ab x که در آن b = 1 + r نوشته شده است.

در اینجا ، A مقدار اولیه یا شروع عملکرد ، R درصد رشد یا نرخ رشد است و B فاکتور رشد/ضرب است.

از آنجا که قدرت اعداد منفی به طرز عجیبی رفتار می کنند ، ما B را به مقادیر مثبت محدود می کنیم.

به همین دلیل در صورت داشتن تعداد منفی در داده های خود ، نباید از ورود به سیستم استفاده شود (یا با احتیاط استفاده شود).

5- یک روند نمایی در مقیاس خطی به یک خط خطی در مقیاس ورود به سیستم ترجمه می شود

تصور کنید که شما در حال رشد قارچ هستید و هر هفته دو برابر می شوند. شما با دو قارچ در هفته اول شروع می کنید ، که در هفته دوم دو تا 4 تا 4 است. سپس 8 در هفته سه - سپس 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 512 ، 1024 ، 2048 ، تا 1 میلیون - فقط در 20 هفته. این داده ها برای یک نمودار استاندارد بسیار زیاد است ، اما می توان آن را به راحتی در مقیاس لگاریتمی نمایش داد. هر دو قطعه زیر داده های یکسان را نشان می دهند. تنها تفاوت این است که چگونه محور y اندازه گیری می شود-یکسان در مقیاس خطی و در مقیاس لگاریتمی فشرده/گسترش یافته است. در طرح زیر ، از آنجا که مقادیر هر بار دو برابر می شوند ، پایه مقیاس لگاریتم مورد استفاده 2 است.

اما یک روند خطی فزاینده در مقیاس خطی متفاوت به مقیاس ورود به سیستم ترجمه می شود.

این بدان معنی است که اگر ببینیم مقادیر موجود در محور y در مقیاس لگاریتمی ، در دنیای واقعی (مقیاس خطی) در حال افزایش نیست ، مقادیر هنوز هم به صورت خطی در حال رشد هستند.

بگویید که شما شروع به خندیدن می کنید ، و 100 ثانیه ، 100 نفر دیگر شروع به خندیدن می کنند و می خندند. با دیدن همه این 100 نفر می خندند ، می گویند 100 نفر اضافی در 100 ثانیه بعدی می خندند. به عبارت دیگر ، تعداد افراد خندیدن به طور خطی با گذشت زمان افزایش می یابد. در مقیاس ورود به سیستم ، این روند به طور خطی فزاینده مانند یک روند "صاف" به نظر می رسد.

هنگامی که این روند در مقیاس ورود به سیستم مسطح و غیر افزایش دهنده به نظر می رسد ، در واقعیت ، این روند هنوز "در حال افزایش" است.

ج. در طرح من ، چه زمانی به مقیاس ورود به سیستم نیاز دارم؟

6. یک طرح ورود به سیستم می تواند "الگوهای" را به ما نشان دهد که در مقیاس خطی مشخص نیستند

اگر دو روند داشته باشیم که "به نظر می رسد" در حال رشد است ، مقایسه دشوار است.

داده ها هنگام ترسیم در مقیاس لگاریتمی بسیار متفاوت به نظر می رسند. در یک نمودار معمولی ، مقادیر روی محور (عمودی) y به صورت خطی ترسیم می شوند: 1 ، 2 ، 3 و غیره ، یا 10 ، 20 ، 30 یا موارد مشابه. در مقابل ، در یک نقشه لگاریتمی ، هر یک از آنها روی محور y نشان دهنده افزایش ده برابر نسبت به مورد قبلی است: 1 ، سپس 10 ، سپس 100 ، سپس 1000 ، سپس 10،000 و غیره.(فاصله زمانی لازم نیست که یک عامل 10 باشد ، می تواند یک عامل 2 ، 5 یا 27 یا هر تعداد دیگر باشد ، اما به نظر می رسد انسان عوامل 10 را ترجیح می دهد.) منبع: NYTIMES.

مقیاس لگاریتمی می تواند بر میزان تغییر به گونه ای تأکید کند که مقیاس های خطی انجام نمی دهند. به نظر می رسد ایتالیا میزان عفونت کروناویروس را کند می کند ، در حالی که تعداد موارد در ایالات متحده هر چند روز دو برابر می شود. این تنها در صورتی روشن است که محور y را به مقیاس ورود به سیستم ترجمه کنیم.

مقیاس ورود به سیستم همچنین برای خواندن/مطالعه قیمت سهام مفید است. به عنوان مثال ، اگر گارمین 100 دلار افزایش یابد/سهم آن قابل توجه تر از آن باشد که Google 100 دلار/سهم افزایش یابد. در مقیاس خطی ، تغییر Garmin در مقایسه با تغییرات Google ناچیز است. بیشتر در اینجا بخوانید (PDF).

7. مقیاس ورود به سیستم می تواند نقشه شما را از Skewness نجات دهد

نمودار زیر رابطه بین دوز دارو (در NM) در محور x و پاسخ به محور y را نشان می دهد. دوزها انتخاب شدند تا هر دوز دوز دوز قبلی باشد. هنگامی که با یک محور خطی ترسیم می شود ، بسیاری از مقادیر مورد استفاده قرار می گیرند و دیدن آنچه اتفاق می افتد دشوار است.

با داشتن یک محور لگاریتمی ، مقادیر به همان اندازه به صورت افقی فاصله دارند و درک نمودار را آسان تر می کند.

اگر برخی از نقاط داده شما خیلی بزرگ باشد ، می توانند بر طرح شما مسلط شوند. مقیاس ورود به سیستم می تواند نقشه شما را از Skewness نجات دهد.

7. چه زمانی از مقیاس ورود به سیستم استفاده نمی کنید؟

اگر ستون داده شما دارای اعداد کمتر یا برابر با 0 باشد ، نمی توان در مقیاس ورود به سیستم (بدون دستکاری بیشتر) نشان داد. اما ، به طور کلی ، این برای اکثر مجموعه داده ها مشکلی ندارد. به عنوان مثال ، هرگز تعداد منفی موارد COVID وجود ندارد ، هرگز اندازه آتش منفی وجود ندارد و هرگز تعداد منفی موش وجود ندارد.

مقیاس ورود به سیستم نمی تواند "0" یا مقادیر منفی را نشان دهد. بنابراین اگر ستون داده شما دارای اعداد کمتر یا مساوی با 0 باشد ، از مقیاس ورود به سیستم در این ستون استفاده نمی شود.

D. درک بهتر مقیاس ورود به سیستم

8. چگونه می توان مقیاس لگاریتمی را خواند؟

1. با نگاهی به طرح ، تعیین کنید که آیا نمودار نیمه LOG یا ورود به سیستم را می خوانید. یک نمودار نیمه بسته دارای مقیاس لگاریتمی یا در محور x یا محور y است و یک نمودار ورود به سیستم در هر دو وجود دارد. توجه کنید که یک مقیاس لگاریتمی دارای خطوط شبکه ای از فاصله ناهموار است. مقیاس استاندارد/خطی خطوط شبکه ای به طور مساوی دارد.

مقیاس بخش های اصلی/اصلی را بخوانید. در یک نمودار مقیاس لگاریتمی ، علائم مساوی فاصله نشان دهنده قدرت هر پایه ای است که با آن کار می کنید. لگاریتم های استاندارد از پایه ده یا لگاریتم طبیعی استفاده می کنند ، که از پایه "E استفاده می شود." پایه 2 نیز رایج است.

توجه کنید که فاصله بین تقسیمات اصلی به طور مساوی فاصله ندارد. به عنوان مثال ، در طرح زیر ، علامت 50 در حدود 2/3 راه بین 10 تا 100 قرار می گیرد ، نه در وسط 10 و 100. راه بین 1 تا 10 ، نه در وسط 1 و 10.

علائم فاصله جزئی بر اساس لگاریتم هر شماره است. بنابراین ، 1 به عنوان اولین علامت اصلی در مقیاس نشان داده شده است ، 10 دوم ، 100 سوم است و غیره.

9. تمام روندهای نمایی (y = 2 x ، y = e x ، یا y = 10 x) بدون در نظر گرفتن ضریب رشد

قارچ ها می توانند تکثیر شوند. آنها ممکن است هر هفته با یک فاکتور رشد نمایی 2: y (تعداد موزهای اتاق) = 2 بار (هفته) دو برابر شوند. یا ممکن است آنها با ضریب رشد 10 با ضریب رشد نمایی 10 افزایش یابد. صرف نظر از ضریب رشد نمایی ، تا زمانی که در مقیاس خطی به صورت نمایی رشد کنند ، روند مربوطه یک خط خطی در مقیاس لگاریتمی است. در یک فاکتور رشد 2 رشد نمایی در مقیاس ورود به سیستم خطی به نظر می رسد:

همین مورد برای فاکتور رشد "E" است:

و ، همان فاکتور رشد 10:

تمام روند نمایی خطی می شود ، و پایه ورود به سیستم شیب خط خطی را تعیین می کند:

10. نمادهای علمی برای رمزگشایی بیشتر طول می کشد. آنها اثربخشی یک طرح ورود به سیستم را کاهش می دهند

E. تحقیقات علمی

ما با توانایی ذاتی برای درک ورود به سیستم متولد شده ایم. اما ، سواد ریاضی و علمی ما درک ما را دشوار می کند. ورود به سیستم ضعیف!

11. آیا خط شماره شهودی ما (در ذهن ما) خطی یا لگاریتمی است؟

به نظر می رسد ما (انسانها) با یک خط در سر خود متولد می شویم. اما ممکن است کمتر شبیه یک خط کش به طور مساوی و بیشتر شبیه یک قانون اسلاید لگاریتمی باشد که فاصله بین دو عدد نشان دهنده نسبت آنها (در هنگام تقسیم) است نه تفاوت آنها (هنگام تفریق). مطالعات قبلی در مورد غربی ها نشان می دهد که افراد تمایل دارند شماره ها را در مقیاس خطی نقشه برداری کنند ، با این که اعداد به طور مساوی در امتداد خط قرار دارند. اما اگر این تعداد به عنوان گروه های سخت و سخت از نقاط ارائه شود ، افراد به صورت لگاریتمی تعداد بیشتری را در یک انتهای مقیاس در یک انتهای مقیاس قرار می دهند که محققان آن را "اثر فشرده سازی" می نامند. Dehaene می گوید این تحقیقات نشان می دهد که یک خط شماره لگاریتمی ممکن است یک مفهوم ریاضی بصری باشد ، در حالی که ممکن است ایده یک خط شماره خطی آموخت. منبع: علم.

12. چرا دو لامپ کتاب دستیار معامله گر...

ما را در سایت کتاب دستیار معامله گر دنبال می کنید

برچسب : نویسنده : عزت‌الله انتظامی بازدید : 50 تاريخ : سه شنبه 1 فروردين 1402 ساعت: 13:13